Kommutatives Monoid/Eine Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Explizit/Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die von einer einzigen Relation ${}\alpha \sim \beta$ erzeugte mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation auf ${}M$ folgendermaßen gegeben ist: Es ist ${}x\sim y$ genau dann, wenn es eine Kette

$x_{1}=x,\ldots ,x_{n}=y$

gibt, wobei es für jedes ${}i$ ein ${}r\in \mathbb {N}$ und ein ${}\gamma \in M$ mit ${}x_{i}=r\alpha +\gamma$ und ${}x_{i+1}=r\beta +\gamma$ (oder umgekehrt) ist.

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