Kommutierende Matrizen/2/Algebraische Gleichungen/Aufgabe/Lösung

1. Es sei

   ${}A={\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}\,$

   und

   ${}B={\begin{pmatrix}Y_{1}&Y_{2}\\Y_{3}&Y_{4}\end{pmatrix}}\,.$

   Dann ist

   ${}AB={\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y_{1}&Y_{2}\\Y_{3}&Y_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X_{1}Y_{1}+X_{2}Y_{3}&X_{1}Y_{2}+X_{2}Y_{4}\\X_{3}Y_{1}+X_{4}Y_{3}&X_{3}Y_{2}+X_{4}Y_{4}\end{pmatrix}}\,$

   und

   ${}BA={\begin{pmatrix}Y_{1}&Y_{2}\\Y_{3}&Y_{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X_{1}Y_{1}+X_{3}Y_{2}&X_{2}Y_{1}+X_{4}Y_{2}\\X_{1}Y_{3}+X_{3}Y_{4}&X_{2}Y_{3}+X_{4}Y_{4}\end{pmatrix}}\,.$

   Diese beiden Produktmatrizen sind genau dann gleich, wenn die vier Einträge übereinstimmen, wenn also

   ${}X_{1}Y_{1}+X_{2}Y_{3}=X_{1}Y_{1}+X_{3}Y_{2}\,,$

   ${}X_{1}Y_{2}+X_{2}Y_{4}=X_{2}Y_{1}+X_{4}Y_{2}\,,$

   ${}X_{3}Y_{1}+X_{4}Y_{3}=X_{1}Y_{3}+X_{3}Y_{4}\,$

   und

   ${}X_{3}Y_{2}+X_{4}Y_{4}=X_{2}Y_{3}+X_{4}Y_{4}\,$

   gilt. Somit liegt eine affine Varietät vor. Die erste und die vierte Gleichung sind zueinander und zu ${}X_{2}Y_{3}=X_{3}Y_{2}$, äquivalent, also werden die kommutierenden Matrizen durch das Gleichungssystem

   ${}X_{2}Y_{3}=X_{3}Y_{2}\,,$

   ${}X_{1}Y_{2}+X_{2}Y_{4}=X_{2}Y_{1}+X_{4}Y_{2}\,,$

   ${}X_{3}Y_{1}+X_{4}Y_{3}=X_{1}Y_{3}+X_{3}Y_{4}\,$

   beschrieben.

2. Die Einheitsmatrix ${}E_{2}$ kommutiert mit jeder Matrix, daher ist ${}(A,E_{2})$ ein Urbild von ${}A$.
3. Es geht um die Matrizen

   ${}B={\begin{pmatrix}Y_{1}&Y_{2}\\Y_{3}&Y_{4}\end{pmatrix}}\,,$

   die zu

   ${}A={\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}\,$

   das obige Gleichungssystem erfüllen. Die Bedingungen werden zu

   ${}Y_{3}=0\,,$

   ${}Y_{2}+Y_{4}=Y_{1}\,,$

   ${}0=Y_{3}\,,$

   wobei man die dritte Bedingung weglassen kann. Das Urbild von ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}$ ist also

   ${\left\{\left({\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}Y_{2}+Y_{4}&Y_{2}\\0&Y_{4}\end{pmatrix}}\right)\mid Y_{2},Y_{4}\in K\right\}}.$

Zur gelösten Aufgabe