Kommutierende Matrizen/2/Algebraische Gleichungen/Aufgabe

Wir betrachten die Varietät der kommutierenden ${}2\times 2$-Matrizen, also die Menge der Matrizenpaare

${}V={\left\{(A,B)\mid A,B\in \operatorname {Mat} _{2}(K),\,AB=BA\right\}}\subseteq \operatorname {Mat} _{2}(K)\times \operatorname {Mat} _{2}(K)\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{8}}\,.$

1. Zeige, dass dies eine affine Varietät ist, und bestimme möglichst einfache Gleichungen, die diese Varietät beschreiben.
2. Zeige, dass die Abbildung

   $\pi \colon V\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,(A,B)\longmapsto A,$

   surjektiv ist.

3. Bestimme das Urbild von ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}$ unter ${}\pi$.

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