Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}\epsilon >0$  gegeben. Wegen der gleichgradigen Stetigkeit gibt es zu jedem  ${}x\in X$  eine offene Umgebung  ${}x\in U_{x}\subseteq X$  mit

${}d{\left(f(x),f(x')\right)}<{\frac {\epsilon }{4}}\,$

für alle  ${}x'\in U_{x}$  und alle  ${}f\in T$.  Wegen der Kompaktheit von ${}X$ gibt es endlich viele Punkte ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit

${}X=\bigcup _{i=1}^{n}U_{x_{i}}\,.$

Es sei

${}M={\left\{f(x_{i})\mid f\in T,\,i=1,\ldots ,n\right\}}=\bigcup _{i=1}^{n}{\left\{f(x_{i})\mid f\in T\right\}}\subseteq {\mathbb {K} }\,.$

Da die einzelnen Auswertungsbilder ${}{\left\{f(x_{i})\mid f\in T\right\}}$ beschränkt sind, ist auch ${}M$ beschränkt und daher gibt es endlich viele Punkte ${}z_{1},\ldots ,z_{m}$ in ${}{\mathbb {K} }$ mit

${}M\subseteq \bigcup _{j=1}^{m}U{\left(z_{j},{\frac {\epsilon }{4}}\right)}\,.$

Zu einem Tupel  ${}{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\in \{1,\ldots ,m\}^{n}$  definieren wir

$T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}={\left\{f\in T\mid f(x_{i})\in U{\left(z_{j_{i}},{\frac {\epsilon }{4}}\right)}{\text{ für }}i=1,\ldots ,n\right\}}\,.$

Es ist

${}T=\bigcup _{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\,.$

Für  ${}f,g\in T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$  und  ${}x\in X$  gibt es ein ${}i$ mit  ${}x\in U_{x_{i}}$  und somit ist

${}{\begin{aligned}d{\left(f(x),g(x)\right)}&\leq d{\left(f(x),f(x_{i})\right)}+d{\left(f(x_{i}),g(x_{i})\right)}+d{\left(g(x_{i}),g(x)\right)}\\&<d{\left(f(x),f(x_{i})\right)}+d{\left(f(x_{i}),z_{j_{i}}\right)}+d{\left(z_{j_{i}},g(x_{i})\right)}+d{\left(g(x_{i}),g(x)\right)}\\&\leq 4{\frac {\epsilon }{4}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Also ist

${}T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\subseteq U{\left(f,\epsilon \right)}\,$

für jedes  ${}f\in T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$.  Wir wählen zu jedem Tupel ${}{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$ eine Funktion  ${}f_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\in T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$.  Dann wird ${}T$ von den endlich vielen offenen Bällen ${}U{\left(f_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)},\epsilon \right)}$ überdeckt.

Zur bewiesenen Aussage