Kompakte Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Endlich/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zu jedem Punkt ${}P\in M$ gibt es eine offene Kartenumgebung ${}P\in U$ und eine Kartenabbildung

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und so, dass ${}\alpha ^{-1*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist mit ${}f$ stetig und positiv. Wir finden auch eine offene Umgebung ${}P\in U'\subseteq U$, die homöomorph zu einem offenen Ball ${}U'\cong B'\subseteq V$ ist, wobei man auch annehmen kann, dass der Abschluss des Balles ganz in ${}V$ liegt. Der abgeschlossene Ball ist abgeschlossen und beschränkt, daher ist die stetige Funktion ${}f$ darauf und somit auch auf ${}U'$ beschränkt. Es folgt, dass ${}\int _{U'}\omega$ endlich ist, wobei ${}U'$ eine offene Umgebung von ${}P$ ist.

Diese offenen Mengen ${}U'=U'(P)$ überdecken ${}M$. Wegen der Kompaktheit gibt es eine endliche Überdeckung

${}M=\bigcup _{i=1}^{n}U_{i}\,$

mit

${}\int _{U_{i}}\omega <\infty \,.$

Wegen der Positivität gilt somit

${}\int _{M}\omega \leq \sum _{i=1}^{n}{\left(\int _{U_{i}}\omega \right)}<\infty \,.$

Zur gelösten Aufgabe