Kompakte Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Endlich/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zu jedem Punkt  ${}P\in M$  gibt es eine offene Kartenumgebung  ${}P\in U$  und eine Kartenabbildung

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit  ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen und so, dass  ${}\alpha ^{-1*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$  ist mit ${}f$ stetig und positiv. Wir finden auch eine offene Umgebung  ${}P\in U'\subseteq U$,  die homöomorph zu einem offenen Ball  ${}U'\cong B'\subseteq V$  ist, wobei man auch annehmen kann, dass der Abschluss des Balles ganz in ${}V$ liegt. Der abgeschlossene Ball ist abgeschlossen und beschränkt, daher ist die stetige Funktion ${}f$ darauf und somit auch auf ${}U'$ beschränkt. Es folgt, dass ${}\int _{U'}\omega$ endlich ist, wobei ${}U'$ eine offene Umgebung von ${}P$ ist.

Diese offenen Mengen  ${}U'=U'(P)$  überdecken ${}M$. Wegen der Kompaktheit gibt es eine endliche Überdeckung

${}M=\bigcup _{i=1}^{n}U_{i}\,$

mit

${}\int _{U_{i}}\omega <\infty \,.$

Wegen der Positivität gilt somit

${}\int _{M}\omega \leq \sum _{i=1}^{n}{\left(\int _{U_{i}}\omega \right)}<\infty \,.$

Zur gelösten Aufgabe