Kompakte Mannigfaltigkeit/Surjektive stetige Abbildung von beschränkter offener Menge/Aufgabe/Lösung

Zu jedem Punkt ${}P\in M$ wählen wir eine offene Kartenumgebung ${}P\in U_{P}$ mit einer Karte

$\alpha _{P}\colon U_{P}\longrightarrow V_{P}$

mit ${}V_{P}\subseteq \mathbb {R} ^{d}$. Dabei können wir annehmen, indem wir zu einer Ballumgebung von ${}\alpha _{P}(P)\in V_{P}$ und dessen Urbild übergehen, dass die ${}V_{p}$ offene Bälle sind, deren Radius maximal ${}{\frac {1}{3}}$ ist. Die ${}U_{P}$, ${}P\in M$, überdecken die Mannigfaltigkeit. Wegen der Kompaktheit von ${}M$ gibt es endlich viele Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ derart, dass auch ${}U_{i}=U_{P_{i}}$, ${}i=1,\ldots ,n$, die Mannigfaltigkeit überdecken. Wir platzieren die offenen Bälle ${}V_{i}=V_{P_{i}}$ in („einem neuen“) ${}\mathbb {R} ^{d}$, und zwar mit den Mittelpunkten

$(1,0,\ldots ,0),(2,0,\ldots ,0),\ldots ,(n,0,\ldots ,0).$

Wegen der Radiusbedingung sind diese Bälle zueinander disjunkt. Wir betrachten die beschränkte offene Menge ${}U=\bigcup _{i=1}^{n}V_{i}$. Die Kartenabbildungen ${}\alpha _{i}$ liefern stetige Abbildungen

$\varphi _{i}:V_{i}{\stackrel {{\left(\alpha _{i}\right)}^{-1}}{\longrightarrow }}U_{i}\longrightarrow M.$

Wegen der Disjunktheit ergibt sich daraus durch ${}\varphi (z)=\varphi _{i}(z)$, falls ${}z\in V_{i}$ ist, eine stetige Abbildung

$\varphi \colon U\longrightarrow M.$

Wegen der Überdeckungseigenschaft ist diese surjektiv.

Zur gelösten Aufgabe