Zu jedem Punkt
wählen wir eine offene Kartenumgebung
mit einer Karte
-
mit
. Dabei können wir annehmen, indem wir zu einer Ballumgebung von
und dessen Urbild übergehen, dass die
offene Bälle sind, deren Radius maximal
ist. Die
,
,
überdecken die Mannigfaltigkeit. Wegen der Kompaktheit von
gibt es endlich viele Punkte
derart, dass auch
,
,
die Mannigfaltigkeit überdecken. Wir platzieren die offenen Bälle
in
(„einem neuen“)
, und zwar mit den Mittelpunkten
-
Wegen der Radiusbedingung sind diese Bälle zueinander disjunkt. Wir betrachten die beschränkte offene Menge
. Die Kartenabbildungen
liefern stetige Abbildungen
-
Wegen der Disjunktheit ergibt sich daraus durch
, falls
ist, eine stetige Abbildung
-
Wegen der Überdeckungseigenschaft ist diese surjektiv.