Kompakte riemannsche Fläche/Basiswahl/Periodengitter/Gitter/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}\operatorname {Per} (\gamma ):=\left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right)\in {\mathbb {C} }^{g}\,$

der Periodenvektor zu einem geschlossenen Weg ${}\gamma$. Zu einer Basis ${}\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{2g}$ von ${}H_{1}(X,\mathbb {Z} )$ ist zu zeigen, dass die ${}2g$ Vektoren ${}\operatorname {Per} (\gamma _{1}),\ldots ,\operatorname {Per} (\gamma _{2g})$ über ${}\mathbb {R}$ linear unabhängig sind. Es seien ${}\alpha _{i}\in \mathbb {R}$ mit

${}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\operatorname {Per} (\gamma _{i})=0\,.$

Dann gilt

${}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}\omega _{j}=0\,$

für alle holomorphen Basisformen. Dann gilt auch

${}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}{\overline {\omega }}_{j}=0\,$

für alle konjugierten Differentialformen. Die beiden Unterräume ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ und ${}H^{0}(X,{\overline {\Omega }}_{X})$ erzeugen ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$. Somit gilt auch

${}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}c=0\,$

für jede Kohomologieklasse ${}c\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$. Nach Fakt unter Verwendung der Dimensionsergebnisse und von

${}H_{1}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}\,$

ist

${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(X,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}\cong \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(X,\mathbb {R} ),{\mathbb {C} }\right)}\,.$

Dann geht ${}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\gamma _{i}$ unter jeder Auswertung auf ${}0$ und muss daher selbst ${}0$ sein. Somit sind alle ${}\alpha _{i}=0$.

Zur bewiesenen Aussage