Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologiegruppe/Nach Dualraum der ersten Homologie/Fakt

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende topologische Mannigfaltigkeit.

Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

$H^{1}(X,{\mathbb {K} })\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(\pi _{1}(X),{\mathbb {K} }\right)},\,c\longmapsto {\left(\gamma \mapsto \int _{\gamma }c\right)},$

von der ersten Kohomologie der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf ${}X$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$ in den Homorphismenraum von der Fundamentalgruppe ${}\pi _{1}(X)$ nach ${}{\mathbb {K} }$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen