Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologiegruppe/Nach Dualraum der ersten Homologie/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende topologische Mannigfaltigkeit.

Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

$H^1(X,𝕂)⟶\mathrm{Hom}({\pi }_1(X),𝕂),c⟼(\gamma \mapsto {\int }_{\gamma }c),$

von der ersten Kohomologie der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in $𝕂$ in den Homorphismenraum von der Fundamentalgruppe ${\pi }_1(X)$ nach $𝕂$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen