Kompakter Raum/Normal/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}Y,Z$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen des kompakten Raumes ${}X$. Zuerst sei ${}Y$ beliebig und ${}Z=\{P\}$ ein Punkt. Dann gibt es zu jedem Punkt ${}y\in Y$ aufgrund der Hausdorff-Eigenschaft disjunkte Umgebungen ${}y\in U_{y}$ und ${}P\in V_{y,P}$. Es ist

${}Y\subseteq \bigcup _{y\in Y}U_{y}\,$

eine offene Überdeckung. Nach Fakt ist mit ${}X$ auch ${}Y$ kompakt und daher gibt es eine endliche Teilüberdeckung, sagen wir

${}Y\subseteq U:=\bigcup _{i=1}^{n}U_{y_{i}}\,.$

Es ist dann ${}U$ eine offene Umgebung von ${}Y$, die zur offenen Umgebung

${}V:=\bigcap _{i=1}^{n}V_{y_{i},P}\,$

von ${}P$ disjunkt ist.

Für den allgemeinen Fall gibt es nach diesem speziellen Fall zu jedem ${}z\in Z$ disjunkte offene Umgebungen ${}z\in V_{z}$ und ${}Y\subseteq U_{z}$. Es ist dann

${}Z\subseteq \bigcup _{z\in Z}V_{z}\,$

eine offene Überdeckung, für die es wieder eine endliche Teilüberdeckung ${}\bigcup _{j=1}^{m}V_{z_{j}}$ gibt, die zu ${}\bigcap _{j=1}^{m}U_{z_{j}}$ disjunkt ist.

Zur bewiesenen Aussage