Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann integrierbar auf Unterteilung/Fakt

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Funktion ${}f$ ist Riemann-integrierbar.
2. Es gibt eine Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ derart, dass die einzelnen Einschränkungen ${}f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar sind.
3. Für jede Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ sind die Einschränkungen ${}f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar.

In dieser Situation gilt

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\sum _{i=1}^{n}\int _{a_{i-1}}^{a_{i}}f_{i}(t)\,dt\,.$

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