Kompaktes Rechteck/Satz von Fubini/Fakt/Beweis

Beweis

Der Querschnitt des Subgraphen zu  ${}x=x_{0}$  ist der Subgraph der auf  ${}x=x_{0}$  eingeschränkten Funktion, also

${\left\{(x_{0},y,z)\mid 0\leq z\leq f(x_{0},y),\,c\leq y\leq d\right\}}.$

Sein Flächeninhalt ist ${}\int _{c}^{d}f(x_{0},y)dy$, und dieser Flächeninhalt hängt selbst stetig von ${}x_{0}$ ab. Daher ergibt sich die Aussage aus dem Cavalieri-Prinzip.

Zur bewiesenen Aussage