Komplex und reell-linear/Antilinear/C/Matrizen/Bemerkung

Reell-lineare Abbildung von ${}{\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ auf sich selbst werden bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ durch eine ${}2\times 2$-Matrix ${}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}$ beschrieben. Die Zerlegung im Sinne von Fakt ist

${}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}r+u&-t+s\\t-s&r+u\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}r-u&t+s\\t+s&-r+u\end{pmatrix}}\,.$

Die Matrix ist genau dann komplex-linear, wenn sie die Form

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

besitzt, wenn also eine Multiplikation mit der komplexen Zahl ${}a+b{\mathrm {i} }$ vorliegt, und komplex-antilinear genau dann, wenn sie die Form

${\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}$

besitzt.