Komplexe Dreierpotenz/Reell/Diffeomorphismus/Große Menge/Aufgabe/Kommentar

Wir fassen die Abbildung als reelle Abbildung ${}\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ auf. Hier bietet es sich an, mit der Polardarstellung der komplexen Zahlen zu arbeiten, also ${}z=re^{i\alpha }$ mit ${}r\geq 0$ und ${}0\leq \alpha <2\pi$. Über den komplexen Zahl ist das Potenzieren zum Exponenten ${}3$ nicht injektiv (wohl aber surjektiv). Für

$z'=re^{i\left(\alpha +{\tfrac {2\pi }{3}}\right)}$

gilt zum Beispiel

$(z')^{3}=r^{3}e^{3i\left(\alpha +{\tfrac {2\pi }{3}}\right)}=r^{3}e^{3i\alpha }e^{i2\pi }=z^{3}.$

Wenn wir die Abbildung auf eine offene Teilmenge einschränken wollen, auf der sie bijektiv ist, können folglich keine Punkte enthalten sein, die sich genau um eine ${}120$-Grad-Drehung unterscheiden. Beispielsweise können wir als offene Menge ${}G$ die Punkte mit ${}0<\alpha <{\tfrac {2\pi }{3}}$ und ${}r>0$ wählen, aber es sind viele andere Definitionsgebiete denkbar. Auf diesem Gebiet ${}G$ ist die Abbildung nach den vorherigen Überlegungen injektiv und folglich bijektiv. Mit ${}H=\{z=re^{i\alpha }\mid r>0,0<\alpha <2\pi \}$ können wir die Umkehrabbildung durch

$H\longrightarrow G,\quad z=re^{i\alpha }\longmapsto {\sqrt[{3}]{r}}e^{i{\tfrac {\alpha }{3}}}$

angeben, sodass die Umkehrabbildung stetig ist. Die auf ${}G$ eingeschränkte Abbildung könnten wir daher auch als ${}C^{0}$-Diffeomorphismus bezeichnen.

Der Begriff Diffeomorphismus selbst steht für ${}C^{1}$-Diffeomorphismus. Wir müssen also noch begründen, dass die eingeschränkte Abbildung auf ${}G$ und deren Umkehrung differenzierbar sind – zum Beispiel durch Betrachtung der Jacobi-Matrix.

Zur kommentierten Aufgabe