Komplexe Einheiten/Überlagerungen/Gruppe/Z modulo Primzahl/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl, ${}G=\mathbb {Z} /(p)$ und ${}k\in \mathbb {Z} /(p)$. Es sei ${}X={\mathbb {C} }^{\times }$. Wir ordnen ${}k$ eine ${}G$-Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$ in der folgenden Weise zu: Wenn ${}k=0$ ist, so nimmt man die ${}p$-fache disjunkte Vereinigung von ${}{\mathbb {C} }^{\times }$ und lässt den Erzeuger der Gruppe durch eine zyklische Vertauschung der Kopien operieren. Wenn ${}k$ eine Einheit modulo ${}p$ ist, so ist ${}Y={\mathbb {C} }^{\times }$, die Abbildung ist die Potenzierung ${}z\mapsto z^{p}$ und die ${}G$-Operation ist dadurch gegeben, dass der Erzeuger der Gruppe als Multiplikation mit ${}\zeta ^{k}$ wirkt, wobei ${}\zeta$ eine fixierte ${}p$-te primitive Einheitswurzel ist. Zeige, dass dabei nichtisomorphe ${}G$-Überlagerungen entstehen.

Eine Lösung erstellen