Komplexe Einheiten/Überlagerungen/Gruppe/Z modulo Primzahlpotenz/Aufgabe

Es sei ${}p^{r}$ eine Primzahlpotenz, ${}G=\mathbb {Z} /(p^{r})$ und ${}k\in \mathbb {Z} /(p^{r})$. Es sei ${}X={\mathbb {C} }^{\times }$. Wir ordnen ${}k$ eine ${}G$-Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$ in der folgenden Weise induktiv über ${}r$ zu: Wenn ${}k$ eine Einheit ist, so ist ${}Y={\mathbb {C} }^{\times }$, die Abbildung ist die Potenzierung ${}z\mapsto z^{p^{r}}$ und die ${}G$-Operation ist dadurch gegeben, dass der Erzeuger der Gruppe als Multiplikation mit ${}\zeta ^{k}$ wirkt, wobei ${}\zeta$ eine fixierte ${}p^{r}$-te primitive Einheitswurzel ist. Wenn ${}k$ keine Einheit ist, so gehört ${}k$ zu dem von ${}p$ erzeugten Ideal und man kann

${}k=k'p\,$

mit ${}k'\in \mathbb {Z} /(p^{r-1})$ schreiben. Es sei ${}q\colon Z\rightarrow X$ die zu ${}k'$ gehörige ${}\mathbb {Z} /(p^{r-1})$-Überlagerung. Dann nimmt man die ${}p$-fache disjunkte Vereinigung von ${}Z$ und lässt den Erzeuger so operieren, dass er die ${}Z$ zyklisch ineinander überführt und gleichzeitig die ${}\mathbb {Z} /(p^{r-1})$-Operation ausführt (wobei aber das Ergebnis in die nächste Kopie verschoben wird).

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