Komplexe Einheitengruppe/Restklassengruppe zu Kreis und R +/Beispiel

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Wir betrachten die Einheitengruppe von , also .

Zur Untergruppe ist die Abbildung

ein Isomorphismus, die Restklassengruppe ist also isomorph zur Kreisgruppe. Der Kern der Gesamtabbildung besteht aus dem Durchschnitt

daher ist die Abbildung nach Fakt injektiv. Zum Beweis der Surjektivität müssen wir zeigen, dass die Äquivalenzklasse zu jedem durch ein Element des Einheitskreises repräsentiert werden kann. Hierzu kann man nehmen.

Zur Untergruppe ist die Abbildung

bijektiv, die Restklassengruppe ist also isomorph zur Gruppe der positiven reellen Zahlen. Die Injektivität ergibt sich wie eben. Die Surjektivität ergibt sich daraus, dass zu (bezüglich der Untergruppe ) äquivalent ist.