Komplexe Einheitswurzel/Operation/Reell aufgefasst/Invariantenringe/Aufgabe

Wir betrachten die Operation der ${}r$-ten komplexen Einheitswurzeln ${}G=\mu _{r}{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auf ${}{\mathbb {C} }$ durch Multiplikation und die zugehörige Operation auf dem Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X]$, dessen Fixring ${}{\mathbb {C} }[X^{r}]$ ist. Ferner betrachten wir die reelle Entsprechung dieser Situation, also die Operation auf ${}\mathbb {R} ^{2}$ durch die Gruppe der Drehmatrizen der Ordnung ${}r$ und die zugehörige Operation auf ${}\mathbb {R} [X,Y]$.

a) Zeige

${}\mathbb {R} [\operatorname {Re} \,{\left(z^{r}\right)},\,\operatorname {Im} \,{\left(z^{r}\right)}]\subseteq \mathbb {R} [X,Y]^{G}\,.$

b) Zeige, dass diese Inklusion echt sein kann.

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