Komplexe Einheitswurzeln/Ordnung n/Zyklische Gruppe/Beispiel

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Wir betrachten innerhalb der komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ die Lösungen der Gleichung

${}x^{n}=1\,.$

Da ${}{\mathbb {C} }$ algebraisch abgeschlossen ist, gibt es genau ${}n$ verschiedene Zahlen, die diese Gleichung erfüllen. Man nennt sie die ${}n$-ten Einheitswurzeln. Wegen ${}(xy)^{n}=x^{n}y^{n}=1\cdot 1=1$ ist diese Menge multiplikativ abgeschlossen, und wegen ${}(x^{-1})^{n}=x^{-n}=(x^{n})^{-1}=e^{-1}=e$ gehören auch die multiplikativen Inverse dazu. Durch Betrachten des Betrages folgt aus ${}x^{n}=1$ direkt ${}\vert {x}\vert =1$, d.h. ${}x$ liegt auf dem Einheitskreis. Aufgrund der Eulerschen Formel

${}e^{{\mathrm {i} }z}=\cos z+{\mathrm {i} }\sin z\,$

ist ${}x=e^{{\mathrm {i} }z}$ mit ${}z\in \mathbb {R}$, und wegen ${}e^{iz}\cdot e^{{\mathrm {i} }w}=e^{{\mathrm {i} }(z+w)}$ folgt

${}x=e^{\frac {k2\pi {\mathrm {i} }}{n}}\,$

für ein ${}k$, d.h. die ${}n$-ten Einheitswurzeln bilden die Ecken eines regulären ${}n$-Ecks.