Komplexe Exponentialfunktion/Skalarprodukt/Abschätzung/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

{}{\begin{aligned}\vert {e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}\right\rangle }}\vert &=\vert {e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }}\vert \cdot \vert {e^{-{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }\cdot {\left(e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}\right\rangle }\right)}}\vert \\&=\vert {1-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}-v_{1}\right\rangle }}\vert .\end{aligned}}

Nach Aufgabe ist

{}\vert {1-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}-v_{1}\right\rangle }}\vert \leq \vert {\left\langle u,v_{2}-v_{1}\right\rangle }\vert \,

und nach Fakt ist dies ${}\leq \Vert {u}\Vert \cdot \Vert {v_{2}-v_{1}}\Vert$ .