Komplexe Invertierungsfunktion/Potenzreihe/Taylorentwicklung/Aufgabe/Lösung

Die ${}n$-te Ableitung der Funktion  ${}f(z)=z^{-1}$  ist

${}f^{(n)}(z)=(-1)^{n}n!z^{-n-1}\,.$

Es ist also

${}f^{(n)}(c)=(-1)^{n}n!c^{-n-1}\,.$

Der ${}n$-te Koeffizient der Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}c$ ist also gleich ${}(-1)^{n}c^{-n-1}$, und die Potenzreihe ist somit gleich

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)c^{-n-1}(z-c)^{n}.$

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