Komplexe Konjugation/Winkeltreu/Beispiel

Die komplexe Konjugation

$ℂ⟶ℂ,z⟼\bar{z},$

ist eine $ℝ$-lineare Isometrie. Für das reelle Skalarprodukt auf $ℂ$ ist ja

$\begin{array}{cc}⟨\overline{\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)},\overline{\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)}⟩& =⟨\left(\begin{array}{c}a\\ -b\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}c\\ -d\end{array}\right)⟩\\ & =ac+bd\\ & =⟨\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)⟩.\end{array}$

Daher liegt insbesondere eine winkeltreue Abbildung vor. Die Winkeltreuheit kann man auch direkt aus

$\frac{\mathrm{Re}(\bar{v}\cdot \overline{\stackrel{‾}{w}})}{|\bar{v}|\cdot |\bar{w}|}=\frac{\mathrm{Re}(\bar{v}\cdot w)}{|v|\cdot |w|}=\frac{\mathrm{Re}(v\cdot \bar{w})}{|v|\cdot |w|}$

folgern.