Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialraum/Derivation/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

${}(T_{P}f)([\gamma ])=[f\circ \gamma ]=(f\circ \gamma )'(0)\,$

eine komplexe Zahl. Die Zuordnung ist unabhängig vom gewählten Vertreter für ${}[\gamma ]$ und für den holomorphen Funktionskeim ${}f$. Die Linearität der Zuordnung ${}f\mapsto (f\circ \gamma )'(0)$ ist ein Spezialfall der Kettenregel. Die Leibnizregel ergibt sich unter Verwendung der Produktregel aus

${}((f\cdot g)\circ \gamma )'(0)=f(P)(dg)_{P}(\gamma '(0))+g(P)(df)_{P}(\gamma '(0))\,.$

Es wird also in der Tat einem Tangentialvektor eine Derivation zugeordnet. Die Gesamtzuordnung ist ebenfalls ${}{\mathbb {C} }$-linear nach Fakt  (3).

Zur bewiesenen Aussage