Komplexe Multiplikation/Skalarprodukt/Winkel/Beispiel

Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

die Multiplikation mit einer komplexen Zahl ${}w$. Das komplexe Skalarprodukt auf ${}{\mathbb {C} }$ wird dabei auf

${}{\begin{aligned}\left\langle \varphi (u),\varphi (v)\right\rangle &=\varphi (u){\overline {\varphi (v)}}\\&=wu{\overline {wv}}\\&=w{\overline {w}}u{\overline {v}}\\&=\vert {w}\vert ^{2}\left\langle u,v\right\rangle .\end{aligned}}$

Es handelt sich also um die reelle Streckung mit ${}\vert {w}\vert$ und eine komplexe Isometrie.