Komplexe Partialbruchzerlegung/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Die Division mit Rest liefert eine eindeutige Darstellung

mit . Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, wo der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist. Wir führen Induktion über den Grad des Nennerpolynoms. Bei ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun ein Nennerpolynom vom Grad und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei ein Linearfaktor von , so dass wir

schreiben können, wobei den Grad besitzt. Die Ordnung von in sei . Wir setzen

an. Dies führt auf

aus der wir und bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für gelten soll, muss

sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die als verschieden vorausgesetzt wurden. Wir betrachten nun

mit dem soeben bestimmten Wert . Für diese Differenz ist dann nach Konstruktion eine Nullstelle, so dass man nach Fakt durch teilen kann, also

erhält. Dadurch ist eindeutig festgelegt. Der Grad von ist kleiner als der Grad von und der Grad von ist kleiner als der Grad von . Daher können wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden.

Zur bewiesenen Aussage