Komplexe Partialbruchzerlegung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Division mit Rest liefert eine eindeutige Darstellung

${}{\frac {P}{Q}}=H+{\frac {\tilde {P}}{Q}}\,$

mit ${}\operatorname {grad} \,({\tilde {P}})<\operatorname {grad} \,(Q)$. Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist. Wir führen Induktion über den Grad ${}r=\sum _{i=1}^{s}r_{i}$ des Nennerpolynoms. Bei ${}r=0,1$ ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun ${}Q$ ein Nennerpolynom vom Grad ${}r$ und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei ${}X-a_{1}$ ein Linearfaktor von ${}Q$, sodass wir

${}Q={\tilde {Q}}(X-a_{1})\,$

schreiben können, wobei ${}{\tilde {Q}}$ den Grad ${}r-1$ besitzt. Die Ordnung von ${}X-a_{1}$ in ${}Q$ sei ${}r_{1}$. Wir setzen

${}{\frac {P}{Q}}={\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}\,$

an. Dies führt auf

${}P=c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}+{\tilde {P}}(X-a_{1})\,,$

aus der wir ${}c_{1r_{1}}$ und ${}{\tilde {P}}$ bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für ${}X=a_{1}$ gelten soll, muss

${}c_{1r_{1}}={\frac {P(a_{1})}{(a_{1}-a_{2})^{r_{2}}\cdots (a_{1}-a_{s})^{r_{s}}}}\,$

sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die ${}a_{i}$ als verschieden vorausgesetzt worden sind. Wir betrachten nun

$P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}$

mit dem soeben bestimmten Wert ${}c_{1r_{1}}$. Für diese Differenz ist dann ${}a_{1}$ nach Konstruktion eine Nullstelle, sodass man nach Fakt durch ${}X-a_{1}$ teilen kann, also

${}P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}=(X-a_{1}){\tilde {P}}\,$

erhält. Dadurch ist ${}{\tilde {P}}$ eindeutig festgelegt. Der Grad von ${}{\tilde {P}}$ ist kleiner als der Grad von ${}P$ und daher ist der Grad von ${}{\tilde {P}}$ auch kleiner als der Grad von ${}{\tilde {Q}}$. Daher können wir auf ${}{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden.

Zur bewiesenen Aussage