Komplexe Potenzen/Reell/Jacobi-Matrix/Aufgabe/Kommentar

Die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ können wir mit ${}\mathbb {R} ^{2}$ identifizieren, indem der Realteil und der Imaginärteil jeweils als eine Koordinate im ${}\mathbb {R} ^{2}$ interpretiert wird. Dies ist genau das, was gemacht wird, wenn wir uns die komplexen Zahlen als komplexe Zahlenebene vorstellen. Eine komplexe Zahl ${}z=x+iy\in {\mathbb {C} }$ mit imaginärer Einheit ${}i$, Realteil ${}x\in \mathbb {R}$ und Imaginärteil ${}y\in \mathbb {R}$ entspricht dem Punkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$.

Die gegebene Abbildung, die von ${}{\mathbb {C} }$ nach ${}{\mathbb {C} }$ geht, in reellen Koordinaten zu beschreiben heißt nun, die entsprechende Abbildung von der komplexen Zahlenebene in die komplexe Zahlenebene anzugeben, also von ${}\mathbb {R} ^{2}$ nach ${}\mathbb {R} ^{2}$. Zu ${}z=x+iy$ ist wegen oben klar, gehört der Punkt ${}(x,y)$. Jetzt brauchen wir noch den Punkt, den wir nach Anwenden der Abbildung erhalten. Dazu setzen wir ${}z$ in der Form ${}x+iy$ ein. Dann wird es abgebildet auf

$z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}+2ixy-y^{2}.$

Dies ist einfach die binomische Formel, nur muss man aufpassen, dass ${}i^{2}=-1$ ist. Der Realteil dieser komplexen Zahl ist ${}x^{2}-y^{2}$ und ihr Imaginärteil ist ${}2xy$. Dadurch wird die Abbildung in reellen Koordinaten zu

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y^{2},2xy).$

In jeder Komponente der Abbildung steht ein Polynom, weshalb diese partiell integrierbar sind (alle partiellen Ableitungen existieren in allen Punkten). Die Jacobi-Matrix erhalten wir nun durch Berechnung der partiellen Ableitungen in ${}x$- und ${}y$-Richtung. In der ersten Spalte stehen die Komponenten der Funktion nach ${}x$ abgeleitet und in der zweiten Spalte die nach ${}y$ abgeleitet. Wir erhalten im Punkt ${}(x,y)$ die Jacobi-Matrix

$\operatorname {Jak} (f)_{(x,y)}={\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}}$

Der Rest der Aufgabe geht dann ähnlich.

Zur kommentierten Aufgabe