Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Cauchy-Hadamard/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $S = \frac{1}{lim sup \sqrt[n]{| c_{n} |}}$ die Zahl aus $ℝ_{\geq 0} \cup {\infty}$ aus der Satzformulierung und sei $R$ der Konvergenzradius. Es sei $0 < r < r^{'} < S$ . Es ist dann

lim sup \sqrt[n]{c_{n}} = \frac{1}{S} < \frac{1}{r^{'}}

und damit ist $\sqrt[n]{c_{n}} \leq \frac{1}{r^{'}}$ für alle $n \geq N$ ab einem gewissen $N$ . Dann kann man auf $\sum_{n = N}^{\infty} | c_{n} | r^{n}$ wegen

\sqrt[n]{| c_{n} | r^{n}} = r \sqrt[n]{| c_{n} |} \leq \frac{r}{r^{'}} < 1

das Wurzelkriterium anwenden und erhält die absolute Konvergenz von $\sum_{n = N}^{\infty} | c_{n} | r^{n}$ . Da $r$ beliebig nah an $S$ ist, folgt $S \leq R$ .

Es sei nun $S < r$ . Dann gibt es unendlich viele Koeffizienten $c_{i}$ , $i \in I$ , mit

\sqrt[i]{| c_{i} |} > \frac{1}{r}

bzw.

| c_{i} | r^{i} > 1 .

Daher kann $\sum_{n = 0}^{\infty} | c_{n} | r^{n}$ nicht konvergieren, da die Reihenglieder keine Nullfolge bilden. Somit ist auch $S \geq R$ .

Zur bewiesenen Aussage