Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Cauchy-Hadamard/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}S={\frac {1}{\limsup {\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}}}$ die Zahl aus ${}\mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}$ aus der Satzformulierung und sei ${}R$ der Konvergenzradius. Es sei ${}0<r<r'<S$. Es ist dann

${}\limsup {\sqrt[{n}]{c_{n}}}={\frac {1}{S}}<{\frac {1}{r'}}\,$

und damit ist ${}{\sqrt[{n}]{c_{n}}}\leq {\frac {1}{r'}}$ für alle ${}n\geq N$ ab einem gewissen ${}N$. Dann kann man auf ${}\sum _{n=N}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert r^{n}$ wegen

${}{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert r^{n}}}=r{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}\leq {\frac {r}{r'}}<1\,$

das Wurzelkriterium anwenden und erhält die absolute Konvergenz von ${}\sum _{n=N}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert r^{n}$. Da ${}r$ beliebig nah an ${}S$ ist, folgt ${}S\leq R$.

Es sei nun ${}S<r$. Dann gibt es unendlich viele Koeffizienten ${}c_{i}$, ${}i\in I$, mit

${}{\sqrt[{i}]{\vert {c_{i}}\vert }}>{\frac {1}{r}}\,$

bzw.

${}\vert {c_{i}}\vert r^{i}>1\,.$

Daher kann ${}\sum _{n=0}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert r^{n}$ nicht konvergieren, da die Reihenglieder keine Nullfolge bilden. Somit ist auch ${}S\geq R$.

Zur bewiesenen Aussage