Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Cauchy-Hadamard/Unbeschränkt/Aufgabe/Lösung

Es sei die Folge ${}{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}$ zunächst beschränkt, sagen wir

${}{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}\leq M\,$

für alle ${}n$. Es sei ${}s$ reell mit

${}0<s\leq {\frac {1}{2M}}\,.$

Dann ist

${}{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}s\leq M{\frac {1}{2M}}\leq {\frac {1}{2}}<1\,.$

Daher ist

${}\sum _{n=0}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert s^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\vert {\sqrt[{n}]{c_{n}}}\vert s\right)}^{n}\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}\,$

beschränkt, wie aus der Abschätzung mit der geometrischen Reihe folgt. Daher ist ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}s^{n}$ konvergent und es liegt eine konvergente Potenzreihe vor.

Es sei nun die Folge ${}{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}$ nicht beschränkt. Zu jeden beliebigen positiven reellen ${}s$ gibt es dann unendlich viele ${}n$ mit

${}{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}s\geq 1\,.$

Doch dann ist

${}\sum _{n=0}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert s^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}s\right)}^{n}\,$

und daher ist ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}s^{n}$ nicht absolut konvergent. Somit kann die Potenzreihe auf keiner positiven Kreisscheibe konvergieren.

Zur gelösten Aufgabe