Komplexe Potenzreihe/Nullreihe/Offen und abgeschlossen/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}f$ die durch die Potenzreihe gegebene Funktion auf ${}U{\left(0,R\right)}$. Wir betrachten die Menge

${}N={\left\{w\in U{\left(0,R\right)}\mid {\text{ die umentwickelte Potenzreihe um }}w{\text{ ist die Nullreihe}}\right\}}\,.$

Nach Voraussetzung gehört ${}b$ zu ${}N$, die Menge ${}N$ ist also nicht leer. Die Menge ${}N$ ist offen: Wenn ${}w\in N$ ist, und also die umentwickelte Reihe ${}\sum a_{n}(z-w)^{n}$ auf ${}U{\left(w,r\right)}$ die Nullreihe ist, so gilt dies auch für alle Punkte ${}w'\in U{\left(w,r\right)}$. Die Menge ${}N$ ist aber auch abgeschlossen. Es sei ${}w_{n}$ eine Folge in ${}N$, die gegen ${}w\in U{\left(0,R\right)}$ konvergiere. Da die Potenzreihen mit Entwicklungspunkt ${}w_{n}$ die Nullreihen sind, ist insbesondere ${}f(w_{n})=0$. Für die Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}w$ ergibt sich also, dass der Entwicklungspunkt ein Häufungspunkt der Nullstellen ist. Daraus folgt nach Fakt,

dass diese Potenzreihe ebenfalls die Nullreihe ist, also zu ${}N$ gehört. ${}N$ ist also offen und abgeschlossen und nicht leer, also ist es ganz ${}U{\left(0,R\right)}$.

Zur gelösten Aufgabe