Komplexe Potenzreihen/Nullstellen/Häufungspunkt ist Entwicklungspunkt/Nullreihe/Fakt/Beweis

Beweis

Wir nehmen an, dass die Potenzreihe nicht die Nullreihe ist. Dann ist

$P=z^{m}Q$

mit einer ebenfalls konvergenten Potenzreihe

$Q=\sum _{k\in \mathbb{N}}{c}_k{z}^k$

mit  $c_0\ne 0$.  Insbesondere ist  $Q(0)\ne 0$.  Wegen der Stetigkeit der durch $Q$ dargestellten Funktion ist dann auch  $P(z)\ne 0$  für  $z\ne 0$  in einer offenen Umgebung von $0$. Dort gibt es also keine weiteren Nullstellen, ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage