Komplexe Potenzreihen/Nullstellen/Häufungspunkt ist Entwicklungspunkt/Nullreihe/Fakt/Beweis

Beweis

Wir nehmen an, dass die Potenzreihe nicht die Nullreihe ist. Dann ist

${}P=z^{m}Q\,$

mit einer ebenfalls konvergenten Potenzreihe

${}Q=\sum _{k\in \mathbb {N} }c_{k}z^{k}\,$

mit ${}c_{0}\neq 0$. Insbesondere ist ${}Q(0)\neq 0$. Wegen der Stetigkeit der durch ${}Q$ dargestellten Funktion ist dann auch ${}P(z)\neq 0$ für ${}z\neq 0$ in einer offenen Umgebung von ${}0$. Dort gibt es also keine weiteren Nullstellen, ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage