Komplexe Zahlen/Definition

Definition: Komplexe Zahlen

Seien $a_{1},a_{2}\in \mathbb {R}$ gegeben. Eine komplexe Zahl ist dann $a:=a_{1}+i\cdot a_{2}$ mit $i^{2}=-1$

Definition: Konjugiert komplexe Zahl

Seien $a_{1},a_{2}\in \mathbb {R}$ und eine komplexe Zahl ist dann $a:=a_{1}+i\cdot a_{2}$ mit $i^{2}=-1$ gegeben. Die konjugiert komplexe Zahl ${\overline {a}}$ ist dann wie folgt definiert:

${\overline {a}}:=a_{1}-i\cdot a_{2}$

Definition: Betrag einer komplexen Zahl

Seien $a_{1},a_{2}\in \mathbb {R}$ und eine komplexe Zahl ist dann $a:=a_{1}+i\cdot a_{2}$ mit $i^{2}=-1$ gegeben. Der Betrag einer komplexen Zahl $|a|$ ist dann wie folgt definiert:

$|a|:={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}$

Aufgabe

• Zeigen Sie, dass $|a|={\sqrt {a\cdot {\overline {a}}}}$ für beliebige komplexe Zahlen $a\in \mathbb {C}$ gilt!
• Zeigen Sie, dass $|a+b|\leq |a|+|b|$ für beliebige komplexe Zahlen $a,b\in \mathbb {C}$ gilt! Wann gilt die Gleichheit?

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