Komplexe Zahlen/Gebiet/Holomorphe Funktionen/Quotient/Meromorphe Funktionen/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist die Nullstellenmenge von ${}g$ diskret. Außerhalb der Nullstellenmenge ist ${}f/g$ eine holomorphe Funktion. Es sei ${}g(P)=0$ und sei ${}P\in V\subseteq U$ eine offene Umgebung, auf der ${}g$ außer ${}P$ keine Nullstelle besitzt und auf der ${}g$ durch eine Potenzreihe beschreibbar ist. Die beschreibende Potenzreihe hat die Gestalt

${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}=(z-P)^{k}{\left(\sum _{m=0}^{\infty }c_{k+m}(z-P)^{m}\right)}=(z-P)^{k}h(z)\,$

mit ${}k\geq 1$ und ${}c_{k}\neq 0$. Hierbei ist ${}h$ eine holomorphe Funktion mit ${}h(P)\neq 0$, also ist auch ${}{\frac {1}{h}}$ holomorph in einer offenen Umgebung ${}W\subseteq V$ von ${}P$. Auf ${}W\setminus \{P\}$ ist

${}{\frac {f}{g}}={\frac {f}{(z-P)^{k}h}}={\frac {1}{(z-P)^{k}}}\cdot {\frac {f}{h}}\,,$

wobei ${}{\frac {f}{h}}$ einen wohldefinierten Limes für ${}z\rightarrow P$ besitzt. Es geht also nur noch um das Limesverhalten von ${}\vert {\frac {1}{w^{k}}}\vert$ für ${}w\rightarrow 0$. Dieser Limes ist aber ${}\infty$.

Zur bewiesenen Aussage