Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Drei Punkte/In C/Explizit/Fakt/Beweis

Beweis

Die zu ${}{\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}$ zugehörige gebrochen-lineare Funktion ${}\varphi$ ist durch

$z\longmapsto {\frac {(z_{2}-z_{3})z-z_{1}(z_{2}-z_{3})}{(z_{2}-z_{1})z-z_{3}(z_{2}-z_{1})}}={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}$

gegeben. Dies ist offenbar im Punkt ${}z_{3}$ nicht definiert. Ferner ist

${}\varphi (z_{1})=0\,$

und

${}\varphi (z_{2})={\frac {(z_{2}-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}=1\,.$

Zur bewiesenen Aussage