Komplexe Zahlen/Konjugation Realteil Betrag/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei ${}z=a+b{\mathrm {i} }$.

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}\vert {z}\vert &={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\&={\sqrt {(a+b{\mathrm {i} })(a-b{\mathrm {i} })}}\\&={\sqrt {z\ {\overline {z}}}}.\end{aligned}}$

2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {z+{\overline {z}}}{2}}&={\frac {a+b{\mathrm {i} }+a-b{\mathrm {i} }}{2}}\\&={\frac {2a}{2}}\\&=a\\&=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}.\end{aligned}}$

3. Es ist

   ${}{\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {a+b{\mathrm {i} }-{\left(a-b{\mathrm {i} }\right)}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {2b{\mathrm {i} }}{2{\mathrm {i} }}}=b=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\,.$

4. Ist klar.
5. Sei ${}z\neq 0$. Dann ist unter Verwendung von Teil (1)

   ${}{\begin{aligned}z\cdot {\frac {\overline {z}}{\vert {z}\vert ^{2}}}&={\frac {z\cdot {\overline {z}}}{\vert {z}\vert ^{2}}}\\&={\frac {z\cdot {\overline {z}}}{z\cdot {\overline {z}}}}\\&=1,\end{aligned}}$

   also sind ${}z$ und ${}{\frac {\overline {z}}{\vert {z}\vert ^{2}}}$ invers zueinander.

Zur gelösten Aufgabe