Komplexe Zahlen/Konjugation Realteil Betrag/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass innerhalb der komplexen Zahlen folgende Rechenregeln gelten.

1. Es ist  ${}\vert {z}\vert ={\sqrt {z\ {\overline {z}}}}$. 
2. Es ist  ${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$. 
3. Es ist  ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}={\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}$. 
4. Es ist  ${}{\overline {z}}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}$. 
5. Für  ${}z\neq 0$  ist  ${}z^{-1}={\frac {\overline {z}}{\vert {z}\vert ^{2}}}$. 

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