Komplexe Zahlen/Neilsche Parabel/Nullstellengebilde/Riemannsche Fläche/Beispiel

Wir betrachten die holomorphe Funktion  $a_0(z)=z^3$  auf $ℂ$ und dazu das Polynom

$t^2-a_0(z)=t^2-z^3.$

Das Nullstellengebilde

$V=V(t^2-z^3)\subset ℂ\times ℂ$

nennt man die Neilsche Parabel. Die partiellen Ableitungen sind $2t$ bzw. $3z^2$, somit ist $(0,0)$ der einzige singuläre Punkt und das glatte Nullstellengebilde ist  $W=V\setminus \{(0,0)\}$.  Zu  $z\ne 0$  gibt es oberhalb von $z$ die beiden Punkte $\pm \sqrt{z^3}$ und daher stimmt das glatte Nullstellengebilde mit dem unverzweigten Nullstellengebilde überein.