Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Holomorphe Differentialform um Punkt/Residuum/Rückzug/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können ${}P=0$ und ${}\varphi (P)=0$ annehmen. Es sei

${}\varphi (z)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}z^{k}\,$

die Potenzreihe von ${}\varphi$ mit ${}c_{1}\neq 0$ und

${}h(w)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}w^{n}\,$

die Laurent-Reihe von ${}h$. Es geht, aufgrund der expliziten Beschreibung des Rückzuges in Fakt, um das Residuum der Funktion

${\left(h\circ \varphi \right)}\cdot \varphi '$

bzw.

${}{\begin{aligned}\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}{\left(\varphi (z)\right)}^{n}\cdot \varphi '(z)&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}{\left(c_{1}z^{1}+c_{2}z^{2}+\ldots \right)}^{n}\cdot {\left(c_{1}+2c_{2}z+\ldots \right)}\\\end{aligned}}$

und es ist zu zeigen, dass daber der Koeffizient zu ${}z^{-1}$ gleich ${}d_{-1}$ ist. Wir betrachten die Situation für verschiedene Exponenten ${}n$ getrennt. Für ${}n\neq -1$ besitzt die Funktion ${}\varphi ^{n}\varphi '$ eine Stammfunktion, nämlich ${}{\frac {1}{n+1}}\varphi ^{n+1}$, daher ist das Residuum von diesen Summanden (bzw. von $\sum _{n\in \mathbb {Z} ,n\neq -1}d_{n}{\left(\varphi (z)\right)}^{n}\cdot \varphi '(z)$) gleich ${}0$. Für ${}n=-1$ müssen wir das Residuum von

${}d_{-1}{\left(c_{1}z^{1}+c_{2}z^{2}+\ldots \right)}^{-1}\cdot {\left(c_{1}+2c_{2}z+\ldots \right)}=d_{-1}z^{-1}{\left(c_{1}+c_{2}z+\ldots \right)}^{-1}\cdot {\left(c_{1}+2c_{2}z+\ldots \right)}\,$

ausrechnen. Die invertierte Funktion zu ${}c_{1}+c_{2}z+\ldots$ ist von der Form ${}c_{1}^{-1}+a_{1}z+\ldots$, daher beginnt die Laurent-Reihe des gesamten Ausdruckes mit ${}d_{-1}z^{-1}+\ldots$, und das Residuum ist ${}d_{-1}$.

Zur bewiesenen Aussage