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Komplexe Zahlen/Polynom/Abbildung auf projektiver Gerade/Lokale Gestalt/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir setzen , für die endliche Nullstellenmenge von und für das Bild davon unter der Invertierungsabbildung. Auf kommutiert das Diagramm ( gibt es noch nicht)

auf . Auf ist

Wegen ist das Nennerpolynom im Nullpunkt (für ) invertierbar, es sei die inverse holomorphe Funktion dazu, also

Diese Funktion kann man in den Nullpunkt (von unten links, also von oben links) fortsetzen mit dem Wert , sie ist also auf einer offenen Umgebung von definiert und stimmt auf dem Übergang mit überein. Daher wird nach Fakt eine Funktion auf ganz festgelegt. Wegen

ist die lokale Gestalt .