Beweis
Wir setzen
,
für die endliche Nullstellenmenge von
und
für das Bild davon unter der Invertierungsabbildung. Auf
kommutiert das Diagramm
(
gibt es noch nicht)
-
auf
. Auf
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {1}{f(w^{-1})}}&={\frac {w^{k}}{w^{k}f(w^{-1})}}\\&={\frac {w^{k}}{w^{k}{\left(\sum _{n=0}^{k}c_{n}w^{-n}\right)}}}\\&={\frac {w^{k}}{\sum _{n=0}^{k}c_{n}w^{k-n}}}\\&={\frac {w^{k}}{\sum _{j=0}^{k}c_{k-j}w^{j}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73be024e9f2092f2d496214515783391eab546a)
Wegen
ist das Nennerpolynom im Nullpunkt
(für
)
invertierbar, es sei
die inverse holomorphe Funktion dazu, also
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{f(w^{-1})}}=w^{k}g(w)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4517b92eac3cd3df3422e3a6c56592a79dd6392b)
Diese Funktion kann man in den Nullpunkt
(von
unten links, also
von
oben links)
fortsetzen mit dem Wert
, sie ist also auf einer offenen Umgebung von
definiert und stimmt auf dem Übergang mit
überein. Daher wird nach
Fakt
eine Funktion
auf ganz
festgelegt. Wegen
-
![{\displaystyle {}g(w)\neq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac70c05d8251c32f141db3381f312950e1c8b3e)
ist die lokale Gestalt
.