Komplexe Zahlen/Potenzen/Kleiner 1/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Es ist

${}\vert {z^{n}}\vert =\vert {z}\vert ^{n}\,,$

so dass es genügt, die Aussage für reelles ${}r$, ${}0\leq r<1$, zu zeigen. Es ist

${}t:={\frac {1}{r}}>1\,,$

wir schreiben ${}t=1+\delta$ mit ${}\delta >0$. Aufgrund des Archimedes-Prinzips gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass

${}n_{0}\delta \geq {\frac {1}{\epsilon }}\,$

ist. Nach der Bernoullischen Ungleichung gilt somit für ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}t^{n}=t^{n_{0}}=(1+\delta )^{n_{0}}\geq 1+{n_{0}}\delta \geq {\frac {1}{\epsilon }}\,.$

Also ist

${}r^{n}={\left({\frac {1}{t}}\right)}^{n}\leq \epsilon \,$

für ${}n\geq n_{0}$.

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