Komplexe Zahlen/Punktiert/Holomorphe Standardform/Wegintegral/Stammfunktionen/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden auf ${}U$ den sogenannten Hauptzweig des Logarithmus, für diesen gilt

${}\ln {\mathrm {i} }={\frac {{\mathrm {i} }\pi }{2}}\,$

und

${}\ln \left(-{\mathrm {i} }\right)=-{\frac {{\mathrm {i} }\pi }{2}}\,.$

Auf ${}V$ nehmen wir die Funktion

${}l_{2}(z):=\ln \left(-z\right)\,.$

Es ist daher

${}l_{2}({\mathrm {i} })=-{\frac {{\mathrm {i} }\pi }{2}}\,$

und

${}l_{2}(-{\mathrm {i} })={\frac {{\mathrm {i} }\pi }{2}}\,.$

Wir zerlegen den Weg ${}\gamma$ in die Teilwege ${}\gamma _{1}$ von ${}1$ nach ${}{\mathrm {i} }$ (in ${}U$), ${}\gamma _{2}$ von ${}{\mathrm {i} }$ nach ${}-{\mathrm {i} }$ (in ${}V$) und ${}\gamma _{3}$ von ${}-{\mathrm {i} }$ nach ${}1$ (in ${}U$). Es ist somit

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}&=\int _{\gamma _{1}}{\frac {dz}{z}}+\int _{\gamma _{2}}{\frac {dz}{z}}+\int _{\gamma _{3}}{\frac {dz}{z}}\\&={\left(\ln {\mathrm {i} }-\ln 1\right)}+{\left(l_{2}(-{\mathrm {i} })-l_{2}({\mathrm {i} })\right)}+{\left(\ln 1-\ln \left(-{\mathrm {i} }\right)\right)}\\&={\frac {{\mathrm {i} }\pi }{2}}+{\frac {{\mathrm {i} }\pi }{2}}+{\frac {{\mathrm {i} }\pi }{2}}+{\frac {{\mathrm {i} }\pi }{2}}\\&=2{\mathrm {i} }\pi .\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe