Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.

1. Es ist  ${}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}{\mathrm {i} }$. 
2. Es ist  ${}\operatorname {Re} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Re} \,{\left(w\right)}$. 
3. Es ist  ${}\operatorname {Im} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(w\right)}$. 
4. Für  ${}r\in \mathbb {R}$  ist

   $\operatorname {Re} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}{\text{ und }}\operatorname {Im} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}.$

5. Es ist  ${}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}$  genau dann, wenn  ${}z\in \mathbb {R}$  ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn  ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=0$  ist.

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