Komplexe Zahlen/Rechenregeln für Betrag/Aufgabe

Zeige die folgenden Regeln für den Betrag von komplexen Zahlen.

1. Es ist  ${}\vert {z}\vert ={\sqrt {z\ {\overline {z}}}}$. 
2. Für reelles ${}z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
3. Es ist  ${}\vert {z}\vert =0$  genau dann, wenn  ${}z=0$  ist.

4. ${}\vert {z}\vert =\vert {\overline {z}}\vert \,.$

5. ${}\vert {zw}\vert =\vert {z}\vert \vert {w}\vert \,.$

6. Für  ${}z\neq 0$  ist  ${}\vert {1/z}\vert =1/\vert {z}\vert$. 

7. ${}\vert {\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}}\vert ,\vert {\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}}\vert \leq \vert {z}\vert \,.$

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