Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Antiholomorphe Ableitung/Produktregel/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden die Produktregel für die beiden partielle Ableitungen, also

$\frac{\partial (fg)}{\partial x}=f\frac{\partial g}{\partial x}+g\frac{\partial f}{\partial x}$

und

$\frac{\partial (fg)}{\partial y}=f\frac{\partial g}{\partial y}+g\frac{\partial f}{\partial y},$

die in dieser Form auf Aufgabe beruht. Somit folgt die Aussage mit

$\begin{array}{cc}\frac{\partial \left(fg\right)}{\partial \bar{z}}& =\frac{1}{2}(\frac{\partial \left(fg\right)}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial \left(fg\right)}{\partial y})\\ & =\frac{1}{2}(f\frac{\partial g}{\partial x}+g\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm{i}(f\frac{\partial g}{\partial y}+g\frac{\partial f}{\partial y}))\\ & =f\left(\frac{1}{2}(\frac{\partial g}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial g}{\partial y})\right)+g\left(\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y})\right)\\ & =f\frac{\partial g}{\partial \bar{z}}+g\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}.\end{array}$

Zur bewiesenen Aussage