Reeller Vektorraum/Nach C/Totales Differential/Produktregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes und es seien

$f,g\colon U\longrightarrow \mathbb {C}$

in einem Punkt ${}P\in U$ (reell) total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Produktfunktion ${}fg$ (Multiplikation in ${}\mathbb {C}$) total differenzierbar ist, und dass

${}\left(Dfg\right)_{P}=f(P)\left(Dg\right)_{P}+g(P)\left(Df\right)_{P}\,$

gilt.

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