Komplexe Zahlen ohne null/Positive reelle Zahlen/Finde surjektiven Gruppenhomomorphismus/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung

${\mathbb {C} }\setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,z\longmapsto \vert {z}\vert .$

Für  ${}z=a+b{\mathrm {i} }$  ist dabei

${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,.$

Für  ${}z\neq 0$  ist ${}a\neq 0$ oder ${}b\neq 0$, sodass der Betrag positiv ist. Nach Fakt  (4) gilt

${}\vert {zw}\vert =\vert {z}\vert \vert {w}\vert \,,$

daher liegt ein Gruppenhomomorphismus vor. Eine positive reelle Zahl  ${}a=a+0{\mathrm {i} }$ 

wird auf ${}a$ selbst abgebildet, daher ist die Abbildung surjektiv.

Zur gelösten Aufgabe