Komplexe Zahlen/Rechenregeln für Betrag/Fakt

Für den Betrag von komplexen Zahlen gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist  ${}\vert {z}\vert ={\sqrt {z\ {\overline {z}}}}$. 
2. Für reelles ${}z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
3. Es ist  ${}\vert {z}\vert =0$  genau dann, wenn  ${}z=0$  ist.
4. Es ist  ${}\vert {z}\vert =\vert {\overline {z}}\vert$. 
5. Es ist  ${}\vert {zw}\vert =\vert {z}\vert \cdot \vert {w}\vert$. 
6. Für  ${}z\neq 0$  ist  ${}\vert {1/z}\vert =1/\vert {z}\vert$. 
7. Es ist  ${}\vert {\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}}\vert ,\vert {\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}}\vert \leq \vert {z}\vert$. 
8. Es ist  ${}\vert {z+w}\vert \leq \vert {z}\vert +\vert {w}\vert$  (Dreiecksungleichung).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen