Komplexe Zahlen/Rechenregeln für Betrag/Fakt

Für den Betrag von komplexen Zahlen gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist  $|z|=\sqrt{z\bar{z}}$. 
2. Für reelles $z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
3. Es ist  $|z|=0$  genau dann, wenn  $z=0$  ist.
4. Es ist  $|z|=|\bar{z}|$. 
5. Es ist  $|zw|=|z|\cdot |w|$. 
6. Für  $z\ne 0$  ist  $|1/z|=1/|z|$. 
7. Es ist  $|\mathrm{Re}\left(z\right)|,|\mathrm{Im}\left(z\right)|\le |z|$. 
8. Es ist  $|z+w|\le |z|+|w|$  (Dreiecksungleichung).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen