Komplexer Vektorraum/Mannigfaltigkeit/Polynomiale Abbildung/Tangentialabbildung/1/Aufgabe/Lösung

In der gegebenen Situation wird die Tangentialabbildung einfach durch das total Differential beschrieben. Da die Tangentialabbildung eine lineare Abbildung von ${}{\mathbb {C} }^{2}$ nach ${}{\mathbb {C} }$ ist, ist surjektiv äquivalent zu ${}\neq 0$. Das totale Differential ist

$\left(3z^{2}+w,\,z+2w\right).$

Wir müssen bestimmen, wann beide Komponenten gleich ${}0$ sind. Wir lösen die Bedingung ${}3z^{2}+w=0$ nach ${}w$ auf und setzen dies in die zweite Gleichung ein und erhalten

${}0=z+2w=z-6z^{2}=z(1-6z)\,.$

Also ist ${}z=0$ oder ${}z={\frac {1}{6}}$. Daher ist die Tangentialabbildung genau in den beiden Punkten ${}\left(0,\,0\right)$ und ${}\left({\frac {1}{6}},\,-{\frac {1}{12}}\right)$

nicht surjektiv.

Zur gelösten Aufgabe