Komplexes Invertieren/Real- und Imaginärteil/Harmonisch/Aufgabe

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto z^{-1},$

das komplexe Invertieren. Zeige, dass sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil dieser Funktion (jeweils aufgefasst als eine Funktion von ${}\mathbb {R} ^{2}$ nach ${}\mathbb {R}$) eine

harmonische Funktion ist.

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