Komplexes Potenzieren/Hoch 3/Reelle Koordinaten/Harmonisch/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

$z^3=(x+\mathrm{i}y{)}^3=x^3+3\mathrm{i}{x}^{2}y-3x{y}^2-\mathrm{i}{y}^3=x^3-3x{y}^2+(3x^{2}y-y^3)\mathrm{i},$

die Komponentenfunktionen sind also $g(x,y)=x^3-3x{y}^2$ und $h(x,y)=3x^{2}y-y^3$.

b) Es ist

$\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}g}{{\partial }^{2}x}+\frac{{\partial }^{2}g}{{\partial }^{2}y}& =\frac{{\partial }^2(x^3-3x{y}^2)}{{\partial }^{2}x}+\frac{{\partial }^2(x^3-3x{y}^2)}{{\partial }^{2}y}\\ & =6x-6x\\ & =0\end{array}$

und

$\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}h}{{\partial }^{2}x}+\frac{{\partial }^{2}h}{{\partial }^{2}y}& =\frac{{\partial }^2(3x^{2}y-y^3)}{{\partial }^{2}x}+\frac{{\partial }^2(3x^{2}y-y^3)}{{\partial }^{2}y}\\ & =6y-6y\\ & =0.\end{array}$

Zur gelösten Aufgabe