Kongruente Zahl/Pythagoreische Lösung/Zugehöriger Punkt auf elliptischer Kurve/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist einerseits

${}{\begin{aligned}y^{2}&={\frac {(b^{2}-a^{2})^{2}c^{2}}{64}}\\&={\frac {(b^{2}-a^{2})^{2}(a^{2}+b^{2})}{64}}\\&={\frac {a^{6}-a^{4}b^{2}-a^{2}b^{4}+b^{6}}{64}}\end{aligned}}$

und andererseits ebenso

${}{\begin{aligned}x(x-n)(x+n)&=x^{3}-n^{2}x\\&=\left({\frac {c^{2}}{4}}\right)^{3}-n^{2}\left({\frac {c^{2}}{4}}\right)\\&={\frac {(a^{2}+b^{2})^{3}}{64}}-{\frac {a^{2}b^{2}}{4}}\cdot \left({\frac {a^{2}+b^{2}}{4}}\right)\\&={\frac {a^{6}+3a^{4}b^{2}+3a^{2}b^{4}+b^{6}}{64}}-{\frac {a^{4}b^{2}+a^{2}b^{4}}{16}}\\&={\frac {a^{6}-a^{4}b^{2}-a^{2}b^{4}+b^{6}}{64}}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage