Kongruente Zahl/Pythagoreische Lösung/Zugehöriger Punkt auf elliptischer Kurve/Fakt

Es seien ${}a,b,c$ rationale Zahlen, die die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bilden, also

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

erfüllen und derart, dass der Flächeninhalt

${}{\frac {ab}{2}}=n\,$

eine natürliche Zahl ${}n$ ist.

Dann ist ${}\left({\frac {c^{2}}{4}},\,{\frac {(b^{2}-a^{2})c}{8}}\right)$ ein rationaler Punkt der elliptischen Kurve

${}y^{2}=x^{3}-n^{2}x\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen